數學 B3 P71–P89｜國二範圍完整解題

(1) 求 AH
正三角形三邊相等，而且頂點向底邊作高時，也會把底邊平分。
所以 BH＝HC＝8÷2＝4。

在直角三角形 ABH 中：
AB²＝AH²＋BH²
8²＝AH²＋4²
64＝AH²＋16
AH²＝64－16＝48
AH＝√48＝√(16×3)＝4√3（公尺）

(2) 求面積
△ABC 面積＝底×高÷2
＝8×4√3÷2
＝16√3（平方公尺）

設正三角形邊長為 x 公分。
作高後，底邊被平分為 x÷2。

高²＝x²－(x/2)²
＝x²－x²/4
＝3x²/4
所以高＝x√3/2。

面積＝底×高÷2
＝x×(x√3/2)÷2
＝x²√3/4。

依題意：
x²√3/4＝36√3
兩邊同除以 √3：
x²/4＝36
x²＝144
因為邊長取正值，所以 x＝12。

周長＝12×3＝36 公分。

先把東西方向合併：
往東的總量＝12＋1＝13
往西＝8
所以最後在起點東方 13－8＝5 公里。

南北方向：
往北＝5＋7＝12 公里。

因此起點到終點形成一個兩股為 5、12 的直角三角形。
直線距離²＝5²＋12²
＝25＋144
＝169
直線距離＝√169＝13 公里。

全程繞路距離：
120＋180＋240＝540（公尺）

速度＝540÷9＝60 公尺/分。

由題圖，BC 與 CD 互相垂直，所以 △BCD 是直角三角形。
BD²＝180²＋240²
＝32400＋57600
＝90000
BD＝√90000＝300 公尺。

依題圖 A、B、D 在同一東西向直線上，因此：
AD＝AB＋BD＝120＋300＝420 公尺。

直線走所需時間＝420÷60＝7 分鐘。

觀察題圖的拼法：從 A 到 D 的水平位移為 8，垂直錯開為 3。
因此 AD 是一個兩股長分別為 8、3 的直角三角形斜邊。

AD²＝8²＋3²
＝64＋9
＝73。

又因為 ABCD 是正方形，正方形面積＝邊長²。
所以正方形 ABCD 面積＝AD²＝73 平方單位。

甲款：
設長＝4k、寬＝3k。
對角線²＝長²＋寬²
10²＝(4k)²＋(3k)²
100＝16k²＋9k²
100＝25k²
k²＝4，所以 k＝2。
甲的長＝8、寬＝6。
甲面積＝8×6＝48。

乙款：
設長＝3m、寬＝2m。
10²＝(3m)²＋(2m)²
100＝9m²＋4m²
100＝13m²
m²＝100/13。
乙面積＝3m×2m＝6m²
＝6×100/13
＝600/13。

把 48 化成分母 13：
48＝624/13。
624/13 ＞ 600/13。
所以甲款面積較大。

把杯子沿著「杯蓋中心、杯底圓心、吸管接觸杯底的點」切開來看，會得到直角三角形：
直立高度＝12 公分；水平距離＝底面半徑＝5 公分。

吸管在杯內的長度²＝12²＋5²
＝144＋25
＝169
杯內長度＝√169＝13 公分。

吸管總長 20 公分，所以露出杯外：
20－13＝7 公分。

(1)
設梯頂離地 h 公尺。
2.5²＝h²＋0.7²
6.25＝h²＋0.49
h²＝6.25－0.49＝5.76
h＝√5.76＝2.4 公尺。

(2)
梯頂降低 0.4 公尺後：
新高度＝2.4－0.4＝2.0 公尺。
設新梯腳距牆 x 公尺。
2.5²＝2.0²＋x²
6.25＝4＋x²
x²＝2.25
x＝√2.25＝1.5 公尺。

由圖數格子，可把 A 看成 (0,4)、B 看成 (5,0)。

經 P：P=(5,3)
AP＝√(5²＋1²)＝√26
PB＝3
總長＝√26＋3 ≈ 8.10。

經 Q：Q=(2,3)
AQ＝√(2²＋1²)＝√5
QB＝√(3²＋3²)＝√18＝3√2
總長＝√5＋3√2 ≈ 6.48。

經 R：R=(2,0)
AR＝√(2²＋4²)＝√20＝2√5
RB＝3
總長＝2√5＋3 ≈ 7.47。

經 S：
AS＋SB＝4＋5＝9。

四條比較：6.48 最小，所以最短為經 Q 的路徑，選 (B)。

(1) 求 BC
AC 是斜邊。
BC²＝AC²－AB²
＝13²－12²
＝169－144
＝25
BC＝5。

(2) 求正方形邊長
設正方形邊長為 x。
因為 DB＝BF＝x，所以 AD＝12－x。

DE ∥ BC，而且 ∠A 是共同角，因此 △ADE 與 △ABC 相似。
對應邊成比例：
DE/BC＝AD/AB
x/5＝(12－x)/12

交叉相乘：
12x＝5(12－x)
12x＝60－5x
17x＝60
x＝60/17。

設水深 AB＝x 公分。
原本蓮花直立時：
BD＝AB＋AD＝x＋25。

拉到池邊後，蓮花長度不變，所以：
BC＝BD＝x＋25。

△ABC 為直角三角形：
BC²＝AB²＋AC²
(x＋25)²＝x²＋75²

展開左邊：
x²＋50x＋625＝x²＋5625
50x＋625＝5625
50x＝5000
x＝100。

蓮花長 BD＝x＋25＝100＋25＝125 公分。

設每個角被剪掉的等腰直角三角形兩股長為 x。

剪完後：
正八邊形的水平（或垂直）邊長＝10－2x。
斜邊來自等腰直角三角形的斜邊，所以斜邊長：
√(x²＋x²)＝x√2。

因為是正八邊形，所有邊都相等：
10－2x＝x√2。

令正八邊形邊長為 s，則 s＝x√2，
所以 x＝s/√2＝s√2/2。

又 10＝s＋2x：
10＝s＋2×(s√2/2)
10＝s＋s√2
10＝s(1＋√2)
s＝10/(1＋√2)。

分子分母同乘 (√2－1)：
s＝10(√2－1)/(2－1)
＝10(√2－1)。

設兩條對角線交於 O，且 AC ⟂ BD。
因此四個小三角形都可使用畢氏定理：

AB²＝AO²＋BO²
CD²＝CO²＋DO²
BC²＝BO²＋CO²
DA²＝DO²＋AO²

所以：
BC²＋DA²
＝(BO²＋CO²)＋(DO²＋AO²)
＝(AO²＋BO²)＋(CO²＋DO²)
＝AB²＋CD²
＝3²＋4²
＝9＋16
＝25。

矩形內一點有一個可由畢氏定理直接得到的關係：
PA²＋PC²＝PB²＋PD²。

這不是額外公式，可以把 P 到四邊的水平、垂直距離分別代入畢氏定理後相加得到。

代入：
5²＋3²＝4²＋PD²
25＋9＝16＋PD²
34＝16＋PD²
PD²＝18
PD＝√18＝3√2。

摺紙時，摺痕上的點到「摺前點 D」與「摺後點 F」距離相等。
因此 AD＝AF，ED＝EF。

(1) 求 BF
AD＝10，所以 AF＝10。
△ABF 在 B 為直角：
AF²＝AB²＋BF²
10²＝8²＋BF²
100＝64＋BF²
BF²＝36
BF＝6。

BC＝AD＝10，所以 FC＝10－6＝4。

(2) 求 EF
設 EC＝x。
因 DC＝AB＝8，所以 ED＝8－x。
又摺紙性質 ED＝EF，所以 EF＝8－x。

△ECF 在 C 為直角：
EF²＝EC²＋FC²
(8－x)²＝x²＋4²
64－16x＋x²＝x²＋16
64－16x＝16
16x＝48
x＝3。
EF＝8－3＝5。

(3) 求 AE
ED＝5，AD＝10，△ADE 在 D 為直角：
AE²＝AD²＋DE²
＝10²＋5²
＝100＋25
＝125
AE＝√125＝5√5。

直線與 x 軸交於 A：令 y＝0，得 4x＝12，所以 A=(3,0)。
直線與 y 軸交於 B：令 x＝0，得 3y＝12，所以 B=(0,4)。

因此 OA＝3、OB＝4，而且 △OAB 是直角三角形。
AB＝√(3²＋4²)＝5。

(1) 最短距離
最短距離就是 O 向 AB 作垂線的高 OH。
△OAB 面積＝3×4÷2＝6。
也等於 AB×OH÷2：
5×OH÷2＝6
5OH＝12
OH＝12/5。

(2) 垂足 H 的座標
直角三角形中，從直角頂點向斜邊作高，可由相似三角形得到：
OA²＝AB×AH。
所以：
3²＝5×AH
AH＝9/5。

而 AB＝5，所以 H 從 A 往 B 走了整段的：
AH/AB＝(9/5)÷5＝9/25。

A 到 B 的 x 坐標共減少 3、y 坐標共增加 4。
因此從 A 到 H：
x 減少 3×9/25＝27/25；
y 增加 4×9/25＝36/25。

H 的 x＝3－27/25＝75/25－27/25＝48/25；
H 的 y＝36/25。
所以 H＝(48/25, 36/25)。

若點為 (x,y)，到原點的距離平方為：
x²＋y²＝13。

13 要拆成兩個整數平方和：
13＝4＋9＝2²＋3²。

所以：
(|x|,|y|) 可以是 (2,3) 或 (3,2)。

(2,3) 的正負共有 4 種：
(2,3)、(2,-3)、(-2,3)、(-2,-3)。
(3,2) 也有 4 種。

總數＝4＋4＝8 個。

先求兩軸截距。

令 y＝0：
2x＝4 → x＝2，
所以 A=(2,0)。

令 x＝0：
－ay＝4 → y＝－4/a，
所以 B=(0,－4/a)。

由距離公式（畢氏定理）：
AB²＝(2－0)²＋(0－(－4/a))²
29＝4＋16/a²
25＝16/a²
25a²＝16
a²＝16/25
所以 a＝4/5 或 a＝－4/5。

接著用「不通過第三象限」判斷正負。
若 a＝4/5，則 y 軸截距為－5，直線往左延伸會進入第三象限，不合題意。
因此必須取：
a＝－4/5。

AB＝5－2＝3。
正三角形邊長都是 3。

AB 是垂直線段，它的中點 M 為：
M=(0,(2＋5)/2)＝(0,7/2)。

正三角形頂點 C 到 AB 的高會通過中點 M。
所以 C 的 y 坐標：
b＝7/2。

設 CM＝h。
在直角三角形 AMC 中：
AC＝3，AM＝3/2。
h²＝3²－(3/2)²
＝9－9/4
＝36/4－9/4
＝27/4
h＝3√3/2。

C 在第二象限，所以 x 坐標為負：
a＝－3√3/2。

設兩股長為 x、y。
周長：
x＋y＋18＝39
所以 x＋y＝21。

又因為是直角三角形：
x²＋y²＝18²＝324。

把 x＋y＝21 兩邊平方：
(x＋y)²＝21²
x²＋2xy＋y²＝441。

代入 x²＋y²＝324：
324＋2xy＝441
2xy＝117
xy＝117/2。

三角形面積＝xy÷2
＝(117/2)÷2
＝117/4 平方公分。

對每一個直角三角形，依畢氏定理：
斜邊上的正方形面積＝兩股上的正方形面積和。

把最大正方形看成第 1 層：
第 1 層面積＝22。

它上面分出的兩個第 2 層正方形，面積和仍為 22。

第 2 層的兩個正方形又各自分成兩個第 3 層正方形。
每一組「兩個子正方形」面積和等於它的母正方形面積，
所以第 3 層四個正方形的面積總和也等於第 2 層總和＝22。

七個正方形總面積：
22＋22＋22＝66。

設 BD＝x，則 DC＝4－x；設 AD＝h。

在直角三角形 ABD：
x²＋h²＝AB²＝4。……(1)

在直角三角形 ACD：
(4－x)²＋h²＝AC²＝9。……(2)

用 (2)－(1)：
(4－x)²－x²＝9－4
(16－8x＋x²)－x²＝5
16－8x＝5
－8x＝－11
x＝11/8。

代回 (1)：
h²＝4－(11/8)²
＝256/64－121/64
＝135/64
h＝√135/8
＝3√15/8。

面積＝BC×AD÷2
＝4×(3√15/8)÷2
＝3√15/4。
所以面積＝3√15/4。

(1) 3、4、5 三角形
因為：
3²＋4²＝9＋16＝25＝5²，
所以這是一個直角三角形。
面積＝3×4÷2＝6。

(2) 求 AD
設 BD＝x，則 DC＝21－x；設 AD＝h。

△ABD：
x²＋h²＝17²＝289。……(1)

△ACD：
(21－x)²＋h²＝10²＝100。……(2)

用 (2)－(1)：
(21－x)²－x²＝100－289
441－42x＋x²－x²＝－189
441－42x＝－189
－42x＝－630
x＝15。

代回 (1)：
15²＋h²＝289
225＋h²＝289
h²＝64
h＝8。

所以 AD＝8。

BC＝CD＋DB＝8＋7＝15。
從 A 向 BC 作高 AH。
設 CH＝x，AH＝h。

在 △ACH：
x²＋h²＝13²＝169。……(1)

因 BH＝BC－CH＝15－x，
在 △ABH：
(15－x)²＋h²＝7²＝49。……(2)

用 (1)－(2)：
x²－(15－x)²＝169－49
x²－(225－30x＋x²)＝120
30x－225＝120
30x＝345
x＝23/2。

所以：
DH＝CH－CD＝23/2－8
＝23/2－16/2
＝7/2。

由 (1)：
h²＝169－(23/2)²
＝676/4－529/4
＝147/4。

在 △ADH：
AD²＝AH²＋DH²
＝147/4＋(7/2)²
＝147/4＋49/4
＝196/4＝49。
AD＝7。

設 OA＝x。

由第一個直角三角形：
OB²＝OA²＋AB²
＝x²＋1。

再由第二個直角三角形：
OC²＝OB²＋BC²
＝(x²＋1)＋2²
＝x²＋5。

再由第三個直角三角形：
OD²＝OC²＋CD²
＝(x²＋5)＋2²
＝x²＋9。
所以 OD＝√(x²＋9)。

五邊形周長：
OA＋AB＋BC＋CD＋DO＝14
x＋1＋2＋2＋√(x²＋9)＝14
x＋√(x²＋9)＝9
√(x²＋9)＝9－x。

兩邊平方：
x²＋9＝(9－x)²
x²＋9＝81－18x＋x²
9＝81－18x
18x＝72
x＝4。

因 E 是 CD 中點，而 CD＝AB＝10：
CE＝DE＝10÷2＝5。

在直角三角形 BCE 中：
BE²＝BC²＋CE²
＝12²＋5²
＝144＋25
＝169
BE＝13。

看 △ABE。
若以 AB=10 為底，E 到直線 AB 的水平距離就是矩形寬 12。
所以 △ABE 面積：
10×12÷2＝60。

又 AF⊥BE，所以也可用 BE 當底、AF 當高：
13×AF÷2＝60
13AF＝120
AF＝120/13。

設 AB＝x。

把點 B 對直線 AC 作鏡射，得到 B′。
因為 BC⊥AC 且 BC=1，所以：
BB′＝2。
又因鏡射後 AB＝AB′＝x，且
∠BAB′＝15°＋15°＝30°。

從 B 向 AB′ 作垂線，垂足設為 E。
在直角三角形 ABE 中，∠A=30°、斜邊 AB=x。
30°-60°-90° 特殊三角形邊長關係為 1：√3：2，所以：
BE＝x/2，
AE＝x√3/2。

因 AB′＝x：
EB′＝AB′－AE
＝x－x√3/2
＝x(2－√3)/2。

在直角三角形 BEB′ 中，BB′=2：
BE²＋EB′²＝BB′²
(x/2)²＋[x(2－√3)/2]²＝2²。

兩邊乘 4：
x²＋x²(2－√3)²＝16。
(2－√3)²＝7－4√3，所以：
x²[1＋7－4√3]＝16
x²(8－4√3)＝16
4x²(2－√3)＝16
x²(2－√3)＝4。

x²＝4/(2－√3)
＝4(2＋√3)
＝8＋4√3。

而：
(√6＋√2)²＝6＋2＋2√12
＝8＋4√3。
因邊長為正，所以：
AB＝√6＋√2。

設 C=(-2,y)。

先算三邊平方：
AB²＝(3－(-2))²＋(0－1)²
＝5²＋(-1)²＝26。

BC²＝(y－1)²。

AC²＝(3－(-2))²＋(0－y)²
＝25＋y²。

情況一：直角在 C
AB²＝AC²＋BC²
26＝(25＋y²)＋(y－1)²
26＝25＋y²＋y²－2y＋1
26＝26＋2y²－2y
2y(y－1)=0。
y=0 或 1。
y=1 時 C 與 B 重合，不能形成三角形，所以 y=0。
得到 C=(-2,0)。

情況二：直角在 A
BC²＝AB²＋AC²
(y－1)²＝26＋25＋y²
y²－2y＋1＝51＋y²
－2y＝50
y＝－25。
得到 C=(-2,-25)。

情況三：直角在 B
AC²＝AB²＋BC²
25＋y²＝26＋(y－1)²
25＋y²＝27＋y²－2y
2y＝2 → y=1，這又使 B、C 重合，不成立。

所以共有兩個答案：(-2,0)、(-2,-25)。

設 BE＝x，則 EC＝25－x。
又 AB＝CD＝12、AD＝25。

在直角三角形 ABE：
AE²＝12²＋x²＝144＋x²。

在直角三角形 DCE：
DE²＝12²＋(25－x)²
＝144＋(25－x)²。

因 AE⊥DE，所以 △AED 在 E 為直角，AD=25 是斜邊：
AE²＋DE²＝25²＝625。

代入：
(144＋x²)+[144＋(25－x)²]＝625
288＋x²＋625－50x＋x²＝625
2x²－50x＋288＝0
兩邊除以 2：
x²－25x＋144＝0
(x－9)(x－16)=0
所以 x＝9 或 16。

若 x=9：
AE＝√(144＋81)=√225=15；
DE＝√[144＋16²]=√400=20。

若 x=16，兩長只是互換成 20、15。

所以：
AE＋DE＝15＋20＝35。

設 C=(x,y)。
矩形 OFCE 的兩邊長就是 x、y，所以面積＝xy。

因 C 在直線 x＋y=b 上：
x＋y＝b。……(1)

又 C 在半徑為 a 的圓上，所以由畢氏定理：
x²＋y²＝a²。……(2)

把 (1) 兩邊平方：
(x＋y)²＝b²
x²＋2xy＋y²＝b²。

代入 x²＋y²＝a²：
a²＋2xy＝b²
2xy＝b²－a²
xy＝(b²－a²)/2。

所以矩形 OFCE 面積＝(b²－a²)/2。

最低點時，球心在支點正下方 10 公分，且離桌面 5 公分。
所以支點 O 離桌面高度：
10＋5＝15 公分。

B 點：
B 離桌面 9，所以 O 到 B 的垂直落差＝15－9＝6。
擺長 OB=10。
設 B 到 O 的鉛直線水平距離為 x：
x²＋6²＝10²
x²＝100－36＝64
x＝8。

C 點：
C 離桌面 7，所以垂直落差＝15－7＝8。
設水平距離為 y：
y²＋8²＝10²
y²＝100－64＝36
y＝6。

B 在左、C 在右，因此兩點的水平距離：
8＋6＝14。
兩點高度差：
9－7＝2。

所以：
BC²＝14²＋2²
＝196＋4＝200
BC＝√200＝10√2 公分。

設矩形寬 AD＝w、高 AB＝h。

由 AE＝3DE，而且 AE＋DE＝AD=w：
DE＝w/4，AE＝3w/4。

由 CF＝2DF，而且 CF＋DF＝CD=h：
DF＝h/3，CF＝2h/3。

利用 BE=3√13
BE²＝(3w/4)²＋h²
(3√13)²＝9w²/16＋h²
117＝9w²/16＋h²。……(1)

利用 BF=2√19
BF²＝w²＋(2h/3)²
(2√19)²＝w²＋4h²/9
76＝w²＋4h²/9。……(2)

令 X=w²、Y=h²。
(1) 乘 16：
9X＋16Y＝1872。……(3)
(2) 乘 9：
9X＋4Y＝684。……(4)

(3)－(4)：
12Y＝1188
Y＝99。

代入 (4)：
9X＋4×99＝684
9X＋396＝684
9X＝288
X＝32。

所以：
w²h²＝XY＝32×99＝3168
wh＝√3168＝√(144×22)=12√22。

接著求 △BEF 面積。
整個矩形面積＝wh。
矩形外圍除了 △BEF，還有三個直角三角形：

△ABE＝AE×AB÷2
＝(3w/4)×h÷2＝3wh/8。

△DEF＝DE×DF÷2
＝(w/4)×(h/3)÷2＝wh/24。

△BCF＝BC×CF÷2
＝w×(2h/3)÷2＝wh/3。

所以：
△BEF 面積
＝wh－3wh/8－wh/24－wh/3
＝wh[1－9/24－1/24－8/24]
＝wh×6/24
＝wh/4
＝12√22÷4
＝3√22。

所以選 (B)。

每格邊長設為 1。
由圖可讀出：從 A 到 C 是「向右 3、向上 1」；從 C 到 B 是「向右 2、向下 1」。

在 C 的左下方取一個格點 E：它位在 C 的「向左 1、向下 2」處。

先看 △CEB：
CE²＝1²＋2²＝5。
CB²＝2²＋1²＝5。
EB 從 E 到 B 是「向右 3、向上 1」：
EB²＝3²＋1²＝10。

CE²＋CB²＝5＋5＝10＝EB²。
所以由畢氏定理的逆定理，∠ECB＝90°。
而 CE＝CB，所以 △CEB 是等腰直角三角形。

再看 △AEC：
AE 從 A 到 E 是「向右 2、向下 1」：
AE²＝2²＋1²＝5。
CE²＝5。
AC²＝3²＋1²＝10。

AE²＋CE²＝5＋5＝10＝AC²。
所以 ∠AEC＝90°。
又 AE＝CE，所以 △AEC 是等腰直角三角形，
因此 ∠ACE＝45°。

最後：
∠ACB＝∠ACE＋∠ECB
＝45°＋90°
＝135°。